#矩阵

矩阵是个神奇的东西，你可以用它来干这个，这个，还有这个。

数学上，一个 m×n 的矩阵是一个由 m 行 n 列元素排列成的矩形阵列。矩阵里的元素可以是数字、符号或数学式。

大小相同（行数列数都相同）的矩阵之间可以相互加减，具体是对每个位置上的元素做加减法。矩阵的乘法则较为复杂。两个矩阵可以相乘，当且仅当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。矩阵的乘法满足结合律和分配律，但不满足交换律。

#矩阵的基本运算

#加减法

m×n 矩阵 A 和 B 的和（差）：A±B 为一个 m×n 矩阵，其中每个元素是A和B相应元素的和（差），

$(A ± B)_{i,j} = A_{i,j} ± B_{i,j}$

其中 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n.

#数乘

标量 c 与矩阵 A 的数乘：cA 的每个元素是 A 的相应元素与 c 的乘积， $(cA)_{i,j} = c · A_{i,j}$

#转置

m×n 矩阵 A 的转置是一个 n×m 的矩阵，记为$A^{T}$（有些书中也记为$A^{tr}$ 或$^{t}A$、$A'$），其中的第i个行向量是原矩阵 A 的第 i 个列向量；或者说，转置矩阵 AT 第 i 行第 j 列的元素是原矩阵 A 第 j 行第 i 列的元素。

#矩阵乘法

两个矩阵的乘法仅当第一个矩阵 A 的列数和另一个矩阵 B 的行数相等时才能定义。如 A 是 m×n 矩阵和B是 n×p 矩阵，它们的乘积 AB 是一个 m×p 矩阵，它的一个元素 $[AB]_{i,j} = A_{i,1}B_{1,j} + A_{i,2}B_{2,j} + ... + A_{i,n}B_{n,j} = \sum^{n}_{r=1}A_{i,r}B_{r,j}$ 其中 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ p。

矩阵的乘法满足结合律和对矩阵加法的分配律（左分配律和右分配律）：

• 结合律：(AB)C = A(BC),
• 左分配律： (A + B)C = AC + BC,
• 右分配律： C(A + B) = CA + CB.

矩阵的乘法与数乘运算之间也满足类似结合律的规律；与转置之间则满足倒置的分配律。

$c(AB) =(cA)B = A(cB)$ $(AB)^T = B^TA^T$

矩阵乘法不满足交换律。一般来说，矩阵A及B的乘积AB存在，但BA不一定存在，即使存在，大多数时候 AB ≠ BA。

#线性变换

这里的线性变换我们可以简单理解为： 给定n个点，m个操作，构造O(m+n)的算法输出m个操作后各点的位置。操作有平移、缩放、翻转和旋转

#平移

$\begin{pmatrix}1 & 0 & p\\ 0 & 1 & q\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}x \\ y \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x+p \\ y+q \\ 1 \end{pmatrix}$

#缩放

$\begin{pmatrix}L & 0 & 0\\ 0 & L & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}x \\ y \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x * L \\ y * L \\ 1 \end{pmatrix}$

#上下翻转

$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}x \\ y \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x \\ -y \\ 1 \end{pmatrix}$

#左右翻转

$\begin{pmatrix}-1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}x \\ y \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-x \\ y \\ 1 \end{pmatrix}$

#绕原点旋转

$\begin{pmatrix}cos\alpha & -sin\alpha & 0\\ sin\alpha & cos\alpha & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}x \\ y \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x*cos\alpha - y*sin\alpha \\ x*sin\alpha + y*cos\alpha \\ 1 \end{pmatrix}$

#常用矩阵

#单位矩阵

单位矩阵是主对角线都为1，其余都为0的一个方阵。 性质： 任何矩阵与单位矩阵相乘都等于它本身。

$E=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$

#逆矩阵

逆矩阵是与$A$相乘得到单位矩阵$E$的一个矩阵。记作$A^{-1}$ 性质：$A·A^{-1}=E$ 求法：

• 伴随矩阵法

如果矩阵$A$可逆，则$A^{-1}=\frac{A^{ * }}{|A|}$其中是的伴随矩阵。 注意：$A^{ * }$中元素的排列特点是$A^{ * }$的第$k$列元素是$A$的第$k$行元素的代数余子式。要求得$A^{ * }$即为求解$A$的余因子矩阵的转置矩阵。

• 初等变换法

初等变换求逆矩阵就是将原矩阵后再续写上一个同阶单位矩阵。然后将原矩阵化为单位矩阵，这个过程的同时就将单位矩阵化为了逆矩阵。

$\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\2 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 2 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -1 & -2 \\0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1\end{pmatrix}$

• Excel法

1. 输入的矩阵值，例如在（A1:B2）
2. 在工作表中【选取】（反白）另一块大小（例C1:D2）也是的空白格；
3. 找到指令【公式】→【数学与三角函数】→【MINVERSE】（意为Matrix Inverse）；
4. 在【MINVERSE】→【函数引数】→【Array（=阵列）】中点一下鼠标，然后选取一开始已输入值的矩阵（A1:B2）；
5. 同时按下Ctrl+Shift+Enter，使已选取的空白格成为使用同一公式之矩阵；
6. 便会得到逆矩阵$A^{-1}$.

#参考内容

• 矩阵 - 维基百科，自由的百科全书
• Matrix67: My Blog » Blog Archive » 十个利用矩阵乘法解决的经典题目