约瑟夫是一个经典的问题,提供了一种简单的递推思路。

基础知识

约瑟夫问题,又被叫做“约瑟夫斯变换”,是一个很经典的动态规划方面的问题。问题的描述是这样的。有n个人,从1开始编号至n,这n个人排成一个圆圈,从第一个人开始报数,报到m的人出列,剩下的人重新围成圆圈,从出列的那个人的下一个人开始又从1开始报数,以此类推。直到圆圈里最后剩下一个人为止,现在求这个人的编号。

问题解法

关于约瑟夫问题,主要有以下几种形式:

朴素解法(模拟)

根据问题描述,模拟出圈动作的进行。建议写成循环链表的形式。

这种方法可以解出每次出圈的人在 整个圈 的编号,时间复杂度有点高。

代码示例(数组模拟):

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#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
int n,m,a[101],k,i,j,num; //计数器是从1开始的,所以100个人用101
cout<<"请输入参加游戏的玩家人数(不超过100人):";
cin>>n;
cout<<"----------------------------------------"<<endl;
if(n>100
{
cout<<"玩家太多,请重新登陆此程序!"<<endl;
return 0;
}
cout<<"输入游戏中要玩的数字:";
cin>>m;
cout<<"----------------------------------------"<<endl;
for(i=1;i<=n;i++)
{
a[i]=1;
}
j=0;
k=0;
for(i=1;i<=n;i++){
if(a[i]==1){
j=j+a[i];
if(j==m)
{
j=0;
a[i]=0;
k++;
}
if(k==n){
num=i;
break;
}
}
if(i==n)
i=0;
}
cout<<"最后获胜的玩家是第 "<<num<<" 号玩家!"<<endl;
cout<<"----------------------------------------"<<endl;
return 0;
}

求解最后出圈的人

为了讨论方便,先把问题稍微改变一下,并不影响原意:

问题描述:n个人(编号0~(n-1)),从0开始报数,报到(m-1)的退出,剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人(编号一定是(m-1) mod n) 出列之后,剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环(以编号为k=m mod n的人开始):
k k+1 k+2 … n-2,n-1,0,1,2,… k-2
并且从k开始报0。

现在我们把他们的编号做一下转换:

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旧的圆圈 | 新的圆圈
---------+---------
... | ...
k - 2 | n - 2
k - 1 | n - 1
k | ??? <- 此人已出列
k + 1 | 1
k + 2 | 2
... | ...

变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题,假如我们知道这个子问题的解:例如x是最终的胜利者,那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗?!!变回去的公式很简单,相信大家都可以推出来:x’=(x+k) mod n

如何知道(n-1)个人报数的问题的解?对,只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢?当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题!好了,思路出来了,下面写递推公式:

令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号,最后的结果自然是f[n]

递推公式

f[1]=0;
f=(f+m) mod i; (i>1)

有了这个公式,我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值,最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始,我们输出f[n]+1。

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#include <stdio.h>
int main()
{
int n,m,i,s=0;
printf ("N M = ");
scanf("%d%d",&n,&m);
for (i=2; i<=n; i++) s=(s+m)%i;
printf ("The winner is %d\n",s+1);
}

求解每次出圈的人

求解每次出圈的人,当然这不是严格意义上的每次出圈的人,而是出圈的人在当前圈的编号。

则第i轮出局的人为f(i)=(f(i-1)+m-1)%(n-i+1),f(0)=0; f(i) 表示当前子序列中要退出的那个人(当前序列编号为0~(n-i));

代码示例:

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#include <iostream>
using namespace std;

int ans[100];
int test(int n,int m)
{
int i,j=0;
for(i=0;i<n;i++)
{
j=(j+m-1)%(n-i);
ans[i]=j;
}
return 1;
}
int main()
{
test(6,5);
for(int i=0;i<6;i++)
cout<<ans[i]<<endl;
return 0;
}

其它

还有其它一些变形,比如每隔一人退出的特殊情况,这个可以进一步优化,太菜了,看不懂。(参考《具体数学》7-14页)

参考文献