约瑟夫（joseph）问题

2013-05-13

880 字

2 分钟

约瑟夫是一个经典的问题，提供了一种简单的递推思路。

基础知识

约瑟夫问题，又被叫做“约瑟夫斯变换”，是一个很经典的动态规划方面的问题。问题的描述是这样的。有n个人，从1开始编号至n，这n个人排成一个圆圈，从第一个人开始报数，报到m的人出列，剩下的人重新围成圆圈，从出列的那个人的下一个人开始又从1开始报数，以此类推。直到圆圈里最后剩下一个人为止，现在求这个人的编号。

问题解法

关于约瑟夫问题，主要有以下几种形式：

朴素解法（模拟）

根据问题描述，模拟出圈动作的进行。建议写成循环链表的形式。

这种方法可以解出每次出圈的人在 整个圈 的编号，时间复杂度有点高。

代码示例（数组模拟）：

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int n,m,a[101],k,i,j,num; //计数器是从1开始的，所以100个人用101
    cout<<"请输入参加游戏的玩家人数(不超过100人):";
    cin>>n;
    cout<<"----------------------------------------"<<endl;
    if(n>100）
    {
        cout<<"玩家太多，请重新登陆此程序！"<<endl;
        return 0;
    }
    cout<<"输入游戏中要玩的数字：";
    cin>>m;
    cout<<"----------------------------------------"<<endl;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        a[i]=1;
    }
    j=0;
    k=0;
    for(i=1;i<=n;i++){
        if(a[i]==1）{
            j=j+a[i];
            if(j==m)
            {
            j=0;
            a[i]=0;
            k++;
            }
            if(k==n){
                num=i;
                break;
            }
        }
        if(i==n)
        i=0;
    }
    cout<<"最后获胜的玩家是第 "<<num<<" 号玩家！"<<endl;
    cout<<"----------------------------------------"<<endl;
    return 0;
}

求解最后出圈的人

为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：

问题描述：n个人（编号0~(n-1）），从0开始报数，报到（m-1）的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人（编号一定是（m-1） mod n) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m mod n的人开始）：
k k+1 k+2 ... n-2,n-1,0,1,2,... k-2
并且从k开始报0。

现在我们把他们的编号做一下转换：

旧的圆圈 | 新的圆圈
---------+---------
...      |   ...
k - 2    |  n - 2
k - 1    |  n - 1
k        |   ??? <- 此人已出列
k + 1    |    1
k + 2    |    2
...      |   ...

变换后就完完全全成为了（n-1）个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k) mod n

如何知道（n-1）个人报数的问题的解？对，只要知道（n-2）个人的解就行了。（n-2）个人的解呢？当然是先求（n-3）的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]

递推公式

f[1]=0;
f=(f+m) mod i; (i>1)

有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1。

#include <stdio.h>
    int main()
    {
        int n,m,i,s=0;
        printf ("N M = ");
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for (i=2; i<=n; i++) s=(s+m)%i;
        printf ("The winner is %d\n",s+1）;
    }

求解每次出圈的人

求解每次出圈的人，当然这不是严格意义上的每次出圈的人，而是出圈的人在当前圈的编号。

则第i轮出局的人为f(i)=(f(i-1)+m-1)%(n-i+1),f(0)=0; f(i) 表示当前子序列中要退出的那个人（当前序列编号为0~(n-i));

代码示例：

#include <iostream>
using namespace std;

int ans[100];
int test(int n,int m)
{
	int i,j=0;
	for(i=0;i<n;i++)
	{
		j=(j+m-1)%(n-i);
		ans[i]=j;
	}
	return 1;
}
int main()
{
	test(6,5);
	for(int i=0;i<6;i++)
		cout<<ans[i]<<endl;
	return 0;
}

其它

还有其它一些变形，比如每隔一人退出的特殊情况，这个可以进一步优化，太菜了，看不懂。（参考《具体数学》7-14页）

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