斐波那契数列,一个简单而神秘的序列。

斐波那契数列(Fibonacci)相信大家一定很熟悉了,下面简单介绍一下斐波那契数列的一些内容。

定义

这样的序列称为斐波那契数列:

1
2
3
F[0]=0
F[1]=1
F[n]=F[n-1]+F[n-2]

斐波那契数列还有一个通项公式:

an=15[(1+52)n(152)n]a_n= \frac{1}{\sqrt{5}}\left [ {\left ( {\frac{1+\sqrt{5}}{2}} \right )^n-{}\left ( {\frac{1-\sqrt{5}}{2}} \right )^n} \right ]

最初斐波那契数列是由兔子的繁殖问题转化而来的,表示的是在理想状态下第n个月兔子的数目。当然这不是本文讨论的重点。

Fibonacci数列的性质

  1. gcd(fib(n),fib(m))=fib(gcd(n,m))

证明: 可以通过反证法先证fibonacci数列的恣意相邻两项一定互素,然后可证n>m时gcd(fib(n),fib(m))=gcd(fib(n-m),fib(m)),递归即可
求gcd(fib(n),fib(m))=gcd(fib(k),fib(l)),最后k=l,不然继承递归。K是通过展转相减法求出,易证k=gcd(n,m),所以gcd(fib(n),fib(m))=fib(gcd(n,m))。

  1. 如果fib(k)能被x整除,则fib(k * i)都可以被x整除。
  2. f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-1
  3. f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)
  4. f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2n) =f(2n+1)-1
  5. [f(0)]2+[f(1)]2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1)
  6. f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)n·f(n)=(-1)n·[f(n+1)-f(n)]+1
  7. f(m+n)=f(m-1)·f(n-1)+f(m)·f(n)
  8. [f(n)]2=(-1)(n-1)+f(n-1)·f(n+1)
  9. f(2n-1)=[f(n)]2-[f(n-2)]2
  10. 3f(n)=f(n+2)+f(n-2)
  11. f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n〉m≥-1,且n≥1]

斐波那契素数(Fibonacci Prime)

斐波那契素数是指:若某Fibonacci数与任何与它小的Fibonacci数互质,那么就称这个数为Fibonacci素数。

哪些数才是斐波那契数列素数呢?

  1. F(3)和F(4)是Fibonacci素数;从F(5)开始,某项为Fibonacci质数当且仅当它的项数为质数
  2. 第k小的Fibonacci素数是以素数数列中的第k个数为项数的Fibonacci数( 除F(3)和F(4)之外 )
  3. 反例:F(2)=1,不是Fibonacci素数;F(4)=3不满足第二条,但是它是Fibonacci素数

最终结论:Fibonacci序列中的第3,4,5,7,11,13,17,19,23,29,…为Fibonacci素数。

ps:证明神马的大家可以看参考资料。

与杨辉三角的关系

将杨辉三角左对齐,将同一斜行的数加起来,即得一数列1、1、2、3、5、8、……

参考文献